工学に現れる超平面配置
立教大学応用数学セミナー, 立教大学, 22 May 2025
ユークリッド空間内における有限個の超平面からなる「超平面配置」は，社会科学や工学分野への応用を持つことが知られている．応用上重要な配置は，しばしば最適化問題の解，すなわちあるエネルギー関数の極小点・平衡点として自然に現れる．本講演では，このような視点から，機械学習および形状設計における超平面配置の具体例を取り上げ，関係する数学的な問いを紹介する．
折り紙にひそむ数学：カライドサイクルの幾何学 “Kaleidocycle: Geometry, Origami, and Mechanics in Endless Rotation"
第28回MACSコロキウム, 京都大学, 25 Apr. 2025
カライドサイクルという折り紙をご存知でしょうか．環状につながった四面体をクルクルと滑らかに回すことができ，不思議な楽しさがあります．一見ただのおもちゃのようなカライドサイクルですが，この動きの背後には幾何学や機構学に関係する豊かな構造が潜んでいることが分かってきました．この講演では，「なぜ回るの？」という素朴な疑問から拡がった研究を，未解決問題を交えながら紹介します．
Kaleidocycle is an origami art where a chain of tetrahedra rotates smoothly in an endless loop. While it may appear to be just a simple toy, rich geometric and kinematic structures lie behind its mesmerising movement. In this talk, I will present our research that evolved from a simple question—"why does it turn?"—along with some open problems related to this captivating object.
定量生物学の会 九州キャラバン 2025, 九州大学, 11 Jan. 2025
このチュートリアルでは，比較的新しいデータ解析手法である位相データ解析，特にパーシ ステントホモロジーについて，Python を用いた実例を交えながら解説する．パーシステントホモロジー は，データの大域的な特徴をスケールにわたって記述するための手法である．従来手法は局所的な 特徴を捉えるのが得意なものが多く，相補的に活用することでより効果的な解析が可能となる．生物学 分野では，形態学，遺伝子発現データ，神経ネットワークの解析などに利用されている．点群，ボリュ ームデータ，ネットワークなど，幅広い形式のデータに適用可能なパーシステントホモロジーであるが， その一方でデータの前処理や結果の解釈に少しコツが必要である．このチュートリアルでは，直感的 な定義の解説と，トイデータを用いた具体的なパイプラインの提示を通じて，位相データ解析が参加 者の解析ツールキットの一つとなることを目指す． [参考文献], [参考Google Colab]
動く折り紙 "カライドサイクル" をめぐる機構学と幾何学の出会い
京都大学理学研究科・理学部数学教室同窓会講演会，京都大学，26 Oct. 2024
パーシステントホモロジーを用いた医用画像解析
データサイエンスと生命医科学研究のフロンティア，東京大学山上会館，21 Oct. 2024
環状リンク機構カライドサイクルの離散曲線によるモデル化
広島幾何学研究集会, 広島大学, 10 Oct. 2024
第6回形状設計数学セミナー, 東京大学, 1 Nov. 2024
平面グラフ上の位相的な信号フィルタリング (Topological Signal Processing — Low-persistence filter)
Besov空間におけるKoopman作用素による力学系のデータ駆動的な構造解析手法の研究, 九州大学, 7 Jun. 2024.
Persistent homology provides a way to encode topological features of data in the form of a persistence diagram. A methodology known as inverse analysis allows for identifying which parts of the data influence the analysis results by mapping back from the persistence diagram to the original data. We consider the problem of modifying data so that the resulting persistence diagram has the desired properties. Specifically, we introduce an operation on the vertex-based function defined over a planar graph with missing faces that filters out cycles with small persistence in the persistence diagram. These low-persistence cycles are often attributed to noise and are excluded from analysis. Our method removes the features that generate these cycles from the original data itself. The filtering operation at the level of the persistence diagram is lifted to the data level. We demonstrate our method on image data.
Configuration of points on the two-sphere with geometric constraints
Algebraic Geometry, Topology, Combinatorics and Related Topics 2024, Osaka Univ., 24 Mar. 2024.
We consider the configuration of ordered points on the two-sphere adhering to a specific set of geometric constraints represented by a system of quadratic equations. Each configuration corresponds to the state of a closed kinematic chain known as the Kaleidocycle. We introduce the action of an integrable system, reminiscent of the mKdV equation, which is continuous with respect to the time variable and discrete with respect to the spatial variables. We construct an orbit in the configuration space by giving an explicit solution to the system using the elliptic theta functions, which describes the characteristic motion of the Kaleidocycle.
環状リンク機構 カライドサイクルの動き
直感幾何学, 椙山女学園大学, 名古屋, 3 Mar. 2024
トポロジーで機械の目を鍛える
数学と脳科学の連携に向けたワークショップ, 九州大学日本橋サテライト, 28 Dec. 2023
CT画像解析における医学と数学の連携
第50回箱根呼吸討論会, ホテルグランヴィア京都, 5 Aug. 2023
予測モデルが液晶相転移について教えること
日本液晶学会 液晶物理・物性/ソフトマターフォーラム合同講演会2023「AI・機械学習の液晶研究分野への応用と可能性」, 東陽テクニカ本社, 16 Jun. 2023
配位空間を⽤いた離散データのモデリング
Topology Meets Data, 一橋講堂, 10 Jan. 2023
グラフをはじめとする離散データの解析において，まず対象を連続量で表現することが有⽤ である場⾯が多い．これは，深層学習を始め多くの機械学習アルゴリズムが，計算量的に困 難な組合せ最適化ではなく，連続最適化に依拠するためである．例えばグラフデータに対し ては頂点を距離空間の点として表すグラフ埋め込みが，⾃然⾔語処理では同時出現や意味関 係から単語を⾼次元ベクトルで表す単語埋め込みが研究されている．こうして対象に座標や 距離といった構造が付加されることで，様々な処理が可能となる．⼀⽅，距離空間への，特 定の条件を満たすような点の配置，より⼀般に部分空間の配置の全体は，配位空間と呼ばれ てトポロジーの古典的な研究対象である．配位空間は離散的な構造とトポロジーを併せ持ち， 両者をつなぐ媒介として利⽤できる．この講演では⼆つの離散データ，有向グラフと(嗜好 データとしてよく現れる)順序の分布を取り上げ，それぞれ区間対の配置と超平⾯配置とい う幾何的な対象で写しとる⽅法を紹介する
第３回 京大―ハイデルベルク大―理研 ワークショップ 「医学と数理」, 京都大学, 1 Oct. 2022
深層学習は医用画像のノイズ除去や超解像，セグメンテーションなどのタスクにおいて圧倒的な性能を実現するだけでなく，MRI から CT 画像の生成など従来では不可能であったような技術を可能とした．個別の目的ごとに膨大な数の手法が日々提案される状況にあるが，これらは基本的には画像を入力として別の画像を出力とする画像変換の枠組みである程度統一的に捉えることができる．本講演では，一般的な画像変換の全体像とともに，講演者が東大病院放射線科，京大病院呼吸器内科の研究者の方と行ってきたいくつかの事例を紹介する．また，機械学習を利用する上での医用画像特有の注意点について述べる．深層学習の手法は大抵の場合にまず自然画像を対象として開発されるが，医用画像に適用する場合は，前提条件や目的の違いを認識する必要がある．この違いは臨床適用のために解決すべき実用上の課題を生むと同時に，数学・工学上も興味深い問題の提供に繋がる．
超平面配置によるランキング分布のモデル
第21回情報科学技術フォーラム（FIT2022）, online, 14 Sep. 2022.
決まったラベル集合が与えられた時，その順位づけ(並べ替え)をランキングといい，多数のランキングからなるデータをランキング分布と呼ぶ．本講演ではランキングデータの幾何的なモデルを紹介する．部分的なランキングからの学習，高速なサンプリング，高い表現力，幾何的な正則化などのトピックに触れたい．
Capturing the fourth dimension
VRを用いたインタラクティブな高次元認識 2, 九州大学&online, 29 Aug. 2022.
We can recognise 3D objects displayed on a 2D screen. Then, can’t we get a sense of the fourth dimension using VR? We will discuss the ongoing project of our group to achieve 4D perception through HMD, multi-projection, and interaction in the three space. We will present our Polyvision, a VR experience to visualise objects in R^4, and some experimental tasks to quantify how much information on 4D geometry can be acquired by such a tool.
三角メッシュ状の曲面・環状リンク機構の離散微分幾何学
ロボット工学における微分幾何学基礎,，日本ロボット学会，第 141 回ロボット工学セミナー ，online, 12 Aug. 2022.
CG・CAD における代表的な形状表現のひとつである三角メ ッシュや環状リンク機構のグラフモデルは，幾何学ではそれぞれ単体的曲面・単体的閉曲線と呼ばれる. 滑らかな曲面・ 曲線における微分幾何学のアナロジーを，これらの区分線形な曲面・曲線に対して展開し，微分幾何の膨大な知見を形状 処理に活かそうというのが離散微分幾何学の一つのモチベーションである. この講演では，単体的曲線・曲面について速習した後，離散微分幾何の道具の中でも特に有用な離散ラプラシアンと，その形状デザインへの応用を紹介する. また，環状リンク機構への捩率の概念の応用として，ヒンジのみで構成された 1 自 由度機構の設計についても紹介する.
Mobius Kaleidocycle (メビウス・カライドサイクル)
折り紙の科学を基盤とするアート・数理 および工学への応用Ⅱ, MIMS「現象数理学研究拠点」共同研究集会, online, 2 Dec. 2021
カライドサイクルは，合同な四面体が向かい合う辺をヒンジとして環状に連結されたリンク機構であり，クルクルと回すことができる．(ハサミと糊は使うが)一枚の紙から折ることができ，剛体折紙の一種ともみなせる．一つのヒンジは一次元の自由度を持つので，カライドサイクルの動きの自由度は連なる四面体の数$n$に従って大きくなることが予想されるが，変数の数と制約の数を数え上げることで一般には$n-6$であることが分かる．ポピュラーな$n=6$のカライドサイクルが上の計算に反して一次元自由度を持つのは，その対称性により制約が冗長になっているためである．このように期待される自由度より実際の自由度が大きくなる機構は珍しくないが，反対に期待される自由度より実際の自由度が小さくなることも稀に起こる．これは，機構の状態が幾何的制約のなす方程式系の実数解に対応するという，実数の性質に起因する現象で，解析や設計は非常に困難である．講演者はOISTの研究者と共同で，任意の$n\ge 7$について，四面体の形を特別に選ぶことで一次元の動きの自由度を持つカライドサイクルを発見し，三半捻りのメビウスの帯のトポロジーを持つことからメビウス・カライドサイクルと名付けた．メビウス・カライドサイクルは，実際の自由度が正でありかつ期待される自由度より小さい非自明な機構として，珍しい族を成している．さらに，九州大学の研究者と共同で，この自由度１の運動が可積分系によって記述できることや，それに伴い物理的に意味のある保存量を持つことを示すことができた．メビウス・カライドサイクルは，代数，トポロジー，可積分系という様々な数学が折紙工学と出会う興味深い対象となっている．この講演では，まだ不明なことの多いこの対象の面白さをお伝えしたい．
MIMS/CMMA トポロジーとその応用融合研究セミナー, online, 18 Nov. 2021
組合せ最適化が大抵の場合連続最適化より難しいことが示唆するように，グラフや順序などの離散的な構造は計算機で処理しづらい場合があります．そこで機械学習の前処理としてまず，離散的な対象を連続的な対象に置き換えるということがよく行われます．例えばグラフであれば，距離空間への等長埋め込みを与えれば頂点が距離空間の点に対応します． これを用いて，自然言語処理では同時出現頻度や意味関係を元に単語間のグラフを構成し，その頂点である各単語を高次元ユークリッド空間の点で表すということがなされます。 こうして対象に座標や距離といった構造が付加され，特に微積分の道具が利用可能になることで，様々な処理が可能となるわけです．この講演では二つの例，有向グラフと，順序の上の確率分布を取り上げ，それぞれ距離空間の部分空間列と超平面配置という幾何的な対象で写しとる方法を紹介します。
数学と諸分野の連携に向けた若手数学者交流会2020, 13 Mar. 2021 (online)
バイオフィジオロジー研究会特別企画Webカンファレンス2021, 19 Feb. 2021 (online)
A simple path tracer for 4D scene rendering (シンプルな４次元パストレーサーによるレンダリング)
VRを用いたインタラクティブな高次元認識, 12 Feb. 2021 (online)
パストレーシングは光輸送をモンテカルロ法で解くことで３次元シーンのレンダリング画像を得る方法である．この講演では，わずか99行のコードでパストレーシングを実現した smallpt を紹介し，それが安直に４次元シーンのレンダリングに拡張できる (smallpt4d) ことを述べる．
Nested Subspace Arrangement によるグラフの連続表現
日本オペレーションズ・リサーチ学会「超スマート社会のシステムデザインのための理論と応用」研究部会 第7回研究会, 19 Nov. 2020 (online)
グラフ埋め込みは，SNSなどの巨大なグラフをユークリッド空間に埋め込むことで，解析の助けにする手法の総称である．埋め込まれた各頂点は座標を与えられ，離散構造が連続化されるため，機械学習の前処理として用いられる．これまでには，広範かつ効率的な埋め込みを探すために，ポアンカレ円盤など一般の距離空間への埋め込みを考えたり，有向グラフを表現するために各頂点を点ではなく円盤として埋め込むなどの拡張が考えられてきた．後者の方法では，有向辺を円盤の包含で表現することで，非対称性を巧妙に実現しているのだが，サイクルが表現できないという弱点がある．この講演では，頂点を部分集合族によって表現する Nested Subspace Arrangement を導入することでこの弱点を克服する．さらに，WordNet や Twitter network などの巨大なグラフが先行研究に比べてより効率的に埋め込めることを紹介する．この研究は，九州大学の秦希望氏，吉田明広氏，藤澤克樹氏との共同研究である．
形状デザインの数理的方法の深化・発展とその社会実装
第9回 藤原洋数理科学賞 奨励賞 受賞講演, Keio University, 17 Oct. 2020
分子のようにミクロな世界から建築物や宇宙まで，この世界はさまざまな形で成り立っています．私は広い意味での形を，解析したりデザインしたりする研究を行っています．目に見える形だけではなく，数学的にはビッグデータも高次元の形とみなすことができます．数字や文字で表しにくい対象・データを，その形を通して見ることで，コンピューターによる記述や処理が可能になります．私の研究ではこれまでに，CTやレーダーといった医療・土木で用いられるイメージング技術，コンピューター上で形状をデザインする技術，データの形に着目することで少量のデータで深層学習を補うことのできる解析技術などを，共同研究者の方たちと一緒に開発してきました．また，工学的に有用で不思議な性質を持つ「メビウス・カライドサイクル」という形状(リンク機構)は，折り紙からスタートして背後に現代数学が絡み合う，工学・数学・折り紙が邂逅する学術上も応用上も面白い発見になりました．折り紙の展開図や3Dプリンタモデルを公開しているので，ぜひ触れて見てください．
深層学習とパーシステントホモロジーによるハイブリッド画像解析
日本応用数理学会 2020年度年会, 正会員OS 位相的データ解析, 9 Sep. 2020 (online)
畳み込みニューラルネットワーク(CNN)は画像解析において非常に強力である一方で、近視眼的でありテクスチャーなど局所的な情報に捉われるすぎる傾向があることが知られている。これは、人間がものを見る時により大域的な手がかりを重視するのと対照的である。本講演では、パーシステントホモロジーによって画像の大域構造を、CNNが学習しやすい形にエンコードする手法を紹介する。 ２通りのものの見方を融合することで、実際に画像認識精度が向上することを例示する。
Geometric toolbox for data analysis
応用のためのトポロジカルデータ解析チュートリアル＆ワークショップ, 19 Jun. 2020 (online)
データというものは有限の計算機で扱うために本質的に離散であるが、連続な対象が背後にあり、そのサンプリングとして得られている場合など、その大局的な構造を位相や幾何を通して捉えるのは往々にして有効である。このチュートリアルでは、persistent homology やラプラシアンといった道具を機械学習と組み合わせつつデータの図形的な性質を調べる方法を、実問題への応用例をあげつつ紹介する。
Topological characterisation of Interstitial Lung Disease
"医学と数理”（第２回 京大―ハイデルベルク大―理研 ワークショップ ）, Kyoto University, 17 Sep. 2020 (postponed from 21 Mar. 2020 due to coronavirus outbreak)
かたちの線型代数・微積分
東京大学数理情報学談話会, 3 Jul 2019
画像処理では、画像を二次元の格子グラフ上の関数とみなし、その関数を線型代数や微積の道具立てを用いて料理する。同様に、３次元空間内の形状は、グラフやより一般に単体複体上の関数とみなすことで、やはり線型代数やベクトル解析を用いて処理することができる。本講演では、形状処理、特にかたちの変形について、この観点からの研究を紹介したい。
やわらかい幾何の拡がり
マス・フォア・イノベーション シンポジウム, 九州大学, 6 Jun 2019
データから見える液晶の転移温度と秩序 -- QSPRの先へ
高分子学会九州支部フォーラム, 九州大学, 14 Mar 2019
トポロジーに基づく形状設計法
芝浦工業大学 数理科学科 談話会, 19 Feb 2019
３次元形状をコンピューター上で扱う技術は、computer graphics (CG) や computer aided design (CAD) とともに発展してきた。また最近では 3D プリンタの発展により、digital fabrication も盛んである。これらの分野においては、トポロジーのアイデアが本質的な役割を果たす技術課題が散見される。計算機の上で"かたち”を扱うには、まず対象を有限の記号におとす必要があるが、代数トポロジーはまさにうってつけの道具である。この講演では、講演者がこれまで行ってきた共同研究の中から２つのトピックを取り上げ、単体複体で表された曲面の変形と、離散的な空間曲線としてモデル化されたリンク機構の設計についてお話ししたい。
多数のヒンジからなる、自由度１の閉リンク機構
日本応用数理学会：応用数理ものづくり研究会, 政策研究大学院大学, 18 Feb 2019
微分形式を用いたメッシュ形状処理の基本(Introduction to discrete differential forms for mesh processing)
IMI短期共同研究2018「造船工学における曲面幾何」, Kyushu univ., 25 Dec 2018
Equivariant loop product (同変ループ積について)
日本数学会2018年度秋季総合分科会 トポロジー分科会 特別講演, 岡山大学, 26 Sep 2018
曲線の幾何学から生まれた閉リンク機構 (in Japanese)
精密工学会2018年春季大会 AIMaP数学応用シンポジウム: 精密工学と幾何学の新たな出会い, 中央大学理工学部, 17 Mar. 2018
CGと数学
情報処理学会第８０回全国大会 イベント企画 「工芸から科学へ - CG技術の新たな挑戦 -」, 早稲田大学理工学部, 15 Mar. 2018
線形代数や流体力学を始めとして，CGには様々な数学が用いられていますが，数学を研究する立場からCG研究はどう映るのでしょうか．海外では意外にも古くから，また日本でも最近は，離散微分幾何学といった新しい数学の源泉としてCGが認識されてきています．数学には「役に立たないほど高等だ」という考え方と同時に，歴史的に物理や工学にアイデアの起源を見つけてきたという二面性があります．CGと数学の関わりについて，トポロジーの研究者である私個人の経験を中心にお話したいと思います．
柔らかい幾何の拡がり -トポロジーの応用- (in Japanese)
AIMaP公開シンポジウム「数学と産業の協働ケーススタディ」, 日本橋ライフサイエンスビルディング, 20 Jan 2018.
３次元形状モデリングへのトポロジーの応用 (in Japanese)
数学と諸分野の連携を通した知の創造, 東北大学, 9 Dec. 2017.
画像関係の機械学習 Hands-on (Hands-on Machine Learning for Image analysis)
IMI短期共同研究 三次元幾何モデリング評価手法の提案とソフトウェア開発, Kyushu university, Fukuoka, 5 Sep. 2017.
かたちの平均 ( some gif animations do not work with the online version of Power Point...)
信州大学数理科学談話会, 22 Nov. 2016
３次元空間内に複数の形状が与えられた時、 その”平均”とは何であろうか。この講演では、コンピューターで計算・出力するという観点から、 この問に一つの答えを与える。扱う数学の道具自体は高度ではないが、リー群論や離散幾何の アイデアが応用されることで、ペンギンたちが平均される様子をお見せしたい。
トポロジーを応用した計算機による形状処理
京都大学応用数学セミナー, 11 Oct. 2016
３次元空間内の形状をコンピューター内であらわす際，一般的には，点群の座標+単体複体といった構造情報を用いる．この構造情報を保ったまま，点の座標のみを動かす変換を作用させることで，基本形状を変形してデザインしたり，キャラクターをアニメーションさせたりすることができる．この様な視点から，様々な場面で，それぞれの入力に応じて実際に変換を構成する手法を紹介する．扱う数学の道具自体は高度ではないが，リー群論や離散幾何のアイデアが応用され，ペンギン計算が行われる様子をお見せしたい．
数学ソフトウェアとフリードキュメント XXIII, 関西大学, 14 Sep. 2016
３次元空間のアファイン写像は，計算機で形状変形やアニメーションを扱う上で基本構成要素となる．アフィン写像は行列で表すことができるが，これは効率は良い反面，例えば正則行列の平均が必ずしも正則にはならないなど，用途によっては使い勝手が良くない．講演者は落合啓之氏と共同で，リー環のカルタン分解を用いてアフィン写像をパラメトライズする方法を考案した．また，アフィン変換をベースに，より複雑な非線形変換を構成することができるが，これを形状変形とアニメーション生成に利用する例を示す．全ての実装はC++のソースコードも含めて MIT License で公開している．
トポロジーのCGへの応用
サロン時間学, 時間学研究所, 山口大学, 29 Jan 2016
コンピューターグラフィックス(CG)と伝統的な絵画や映像表現との違いの一つは、前者は時間変化を伴い表現に大きな自由度がある、と言えるのではないか。絵画は自由に視覚効果を創造できるが、動きを表現することは難しい。一方で、実写映像で可能な表現は、物理的な制約を受ける。宇宙空間での大爆発や、恐竜が闊歩する世界は、コンピューター無しでは実現が難しいだろう。CGは、お金と時間のかかる実写の代替として、シミュレーションを用いて映像を作るという方向とは別に、全く物理的な制約を離れて、自由に仮想的な表現を生み出すという可能性も拓いた。その一つの例として、モーフィングと呼ばれる特殊効果がある。少年がカレーを食べるとサッカー選手に変化するCM(古いですが)のあれである。今回は、トポロジーという数学を用いたモーフィングの実現方法について紹介したい。 モノの形状の時間変化を数学モデルを用いて定式化するのだが、実験結果をいかによく説明するかという物理モデルの話と違い、人間の目に心地よければ良いという、正解のない世界で自由にモデルを設計できる。そんなところにどこか純粋数学に通じるものがありおもしろい。
旗多様体の同変コホモロジー
愛媛大学 数学談話会, 愛媛大学, 12 Jul. 2013.
グラスマン多様体や旗多様体のコホモロジー環は、ヤング盤や対称多項式といった対象を通して組合わせ論的に記述できる。特に統一的で簡明な記述は、コクセター群のハッセ図を用いたGKM表示と呼ばれるものであるが、これは常コホモロジー環だけでなく、代数的にはそれを係数拡大した同変コホモロジー環を記述している。トーラス作用を持つ多様体においてはしばしば、その作用まで込めてより詳細な視点で考えることで、統一的でシンプルな記述を得られることがある。この同変トポロジーにおける基本的な見方を、旗多様体を例にとって概観し、応用として講演者による"二重シューベルト多項式"の定義を紹介したい。
Cohomology of a GKM graph with symmetry
「代数トポロジーと組み合わせ論の相互作用」, 兵庫教育大学神戸サテライト, Feb. 16th 2013.
ワークショップ「数理科学と情報科学の周辺」, Shinshu University, Feb. 14th 2013.
CEDEC2012, Pacifico Yokohama, Aug. 20th 2012.
少数のキーフレーム(物体の形状データ)から、それらを補間する連続的なフレームデータを生成する技術は、フレーム補間とよばれ、アニメーション作成やインタラクティブな物体変形に使われています。ここでは、特に局所的な形状をなるべく保ったままフレーム補間を行うアルゴリズムを、背後にある数学に焦点を当てながら紹介し ます。技術自体の即効性よりも、アルゴリズムの発見法や数学者の物の見方について主にお話ししたいと思います。
グレブナー基底を用いると、解けそうで解けない少し難しい代数トポロジーの問題
JST CREST Groebner basis young researchers meeting, Yamaguchi Univ. Feb. 17th. 2011.
Equivariant cohomology of flag manifolds
トポロジーの多様性, Kinosaki, Dec. 2nd, 2010.
京大微分トポロジーセミナー, Kyoto Univ. Dec. 7th.