前期の「集合と位相I」では集合を学び、「線型代数学」では和やスカラー倍といった、要素に対する演算という代数構造が付加された集合を考えた。一方、要素の間の"近さ"を記述する「距離」、より一般に「位相」という幾何構造を導入した集合を考えることで、対象の"繋がり"といった関係について、数学的な考察を行うことが可能となる。この講義では、距離空間と位相空間についての基本事項を理解し、幾何的な対象を数学的に記述する為の基礎を学ぶ。
具体的には、ユークリッド空間に始まり、距離から位相へと段階的な抽象化において、連続性や連結性といった直感的な概念が、どのように形式化され記述されるかを理解する。
**第12回(1/21) [#r45a80b2]
-Browder の不動点定理
**第11回(12/24) [#yc1db9f6]
-１点コンパクト化
**第10回(12/17) [#d82a73d5]
-位相空間の例
--射影空間
--行列のなす空間
**第9回(12/10) [#y5ccef91]
-直積空間、商空間の例
-位相空間における近傍
--内部と閉包
-ハウスドルフ空間
-コンパクト空間
**第8回(11/26) [#e3afd8bc]
-試験返却
-位相の強弱
-位相空間の構成法
--開基、生成する位相
--誘導位相、商空間、部分空間、積空間
**第7回(11/19) [#ja913204]
-同相の例
--立体射影
-位相的な性質
--連結成分の数・弧状連結性
---$[0,1]$と$(0,1)$が同相でないこと
---$S^1$と$\mathbb{R}$が同相でないこと
- [[演習問題>http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kaji/lecture/files/2010topology/basic-topology04.pdf]]
**第6回(11/12) [#hb5c77fd]
-距離空間から位相空間へ
-同相
-同相によって保たれる性質(連結性)
**第5回(11/5) [#l099ea65]
-開集合を用いた、連続性の言い換え
-連結性, 中間値の定理の拡張
-コンパクト性, 最大値の原理の拡張
-位相空間の定義
**第4回(10/29) [#lecb2b8f]
-点列による連続性と近傍による連続性の同値
-写像の連続性の判定
-開集合と閉集合
**第3回(10/22) [#z09eb205]
- 直積距離空間、部分距離空間
- ユークリッド空間における、様々な概念の抽象化
-- 近傍
-- 有界性
-- 点列の収束
-- 連続写像
- [[演習問題>http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kaji/lecture/files/2010topology/basic-topology03.pdf]]
** 第2回(10/15) [#sa209135]
- 集合の記法：量化子について
- $\mathbb{R}^n$のもつ様々な性質
- 距離空間の定義
-- 色々な例
- [[演習問題>http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kaji/lecture/files/2010topology/basic-topology02.pdf]]
** 第1回(10/8) [#f43b9940]
- ガイダンス
-- 成績評価: 試験3回(80%)+演習(20%)
-- 出席はとらない。途中入場・退出も、こっそりなら可
-- 演習の進め方: 原則として、前回の講義で配った問題を、次の講義の始まる前に早い者勝ちで黒板に書く。講義開始後、発表。
--- 発表すれば、およそ+5点。レポートを提出すれば、およそ+1点。
-- 班分け: 出席番号の末尾(0-9), 3年生, 4年生 の１２班
- この講義で何を学ぶのか？
- 集合の記法についての復習
-- $\mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{Z}, \emptyset, C^\infty(\mathbb{R}), f: X\to Y, g: x\mapsto y, \cdots$ など。
- [[演習問題>http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kaji/lecture/files/2010topology/basic-topology01.pdf]]