幾何学展開II (2011年度後期)
概要
概要
「幾何学展開」は, 「幾何学展開I,II」という二つの講義を通して、幾何学の中でも位相幾何学と呼ばれる分野の入門的な事柄を扱う。
特に、この「幾何学展開II」ではホモトピーという概念を解説し、直感的には、時間に沿って徐々に変形することで図形を調べる、という考え方を学ぶ。
シラバス
シラバス
連絡事項
連絡事項
- レポートを出題しました。1/11の授業時間を締め切りとします。
- 2/1に期末試験を行います。問題と解答[View]
授業内容
授業内容
第１回(10/5)
- ガイダンス
- 幾何学、トポロジーの考え方
- 実世界への応用例
第２回(10/12)
- 位相空間の復習
- カテゴリーという視点
- ユークリッド空間内の有限個の点集合について
- 連結成分の個数が、同相類を判別する完全な不変量であること(c.f. ベクトル空間の次元と同型類)
- 和集合の連結成分の個数に関する公式 (<=> 和集合の要素数の公式)
第３回(10/19)
- 有限有向グラフの定義
- 二つの有限集合 V,E と写像 i,t: E → V の組
- グラフ写像、グラフ同型の定義(グラフのカテゴリー)
- グラフの位相の導入(ユークリッド空間への埋め込みに依らない)
第４回(10/26)
- グラフの行列表示
- グラフの同型判定
- グラフの同相判定
- グラフの位相不変量I - 次数n (≠ 2)の頂点の数
第５回(11/2)
- グラフの位相不変量II - オイラー数、連結成分の数、サイクルの数
- グラフの行列表示から、位相不変量を計算するアルゴリズム
第６回(11/9)
- ``面体''の定義と、その位相不変量
- ５次完全グラフが平面的でない事
第7回(11/16)
- ４色定理について(歴史、応用など)
- ５色定理の証明
- 立体射影( S^2 から一点を除いた空間と R^2 との具体的な同相写像)と地図投影法
第8回(11/30)
- オイラー数の、多面体の形状への応用
第9回(12/14)
- 正多面体の定義、条件を緩めて出てくる色々な多面体について(半正多面体、一様多面体、星形多面体など)
- 正多面体の分類
- 多面体に関する Gauss-Bonnet の定理
- Poincare-Hopf の定理 ( Hairy-ball theorem )
- 余談：結び目理論を使ったゲームの紹介: Region Select
第10回(1/11)
- オイラー数に関する積分
- ターゲット計数問題への応用
第11回(1/18)
- ターゲット計数問題の具体例
第12回(1/25)
- オイラー数積分に関する Fubini の定理
- ターゲット計数問題への応用2
第13回(2/1)
- 期末試験