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幾何学特論(2015年後期)

成績はレポート課題で評価します。授業毎に出題されますが、いくつか選んで最後の講義時間に提出して下さい。

問題

  1. 群Gが与えられた時、その自分自身への a. 自明作用 b. 掛算作用(平行移動) c. 共役作用 がそれぞれ作用となることを確かめよ。
  2. 平面の合同変換群の平面への通常の作用を記述し、それが作用となることを確かめよ。
  3. O(n) の R^n への通常の作用が、二点間の距離を保存することを示せ。
  4. R^n からそれ自身への距離を保存する変換は、線型写像であることを示せ。
  5. R^n の原点を通る超平面に関する鏡映が、O(n) の元を定めることを示せ。
  6. 適当な形式体系において、"対偶"に当たる命題を証明せよ。
  7. パスカルの定理とその双対を、適当な射影幾何の形式体系を用いて示せ。(完全に厳密でなくて良い)
  8. R^2 において、「三角形の内角の和が180度」をきちんと定式化して証明せよ。
  9. R^2 の homothecy 変換全体が群をなすことを示せ。
  10. 射影変換により、複比が不変であることを示せ。
  11. バタフライ定理を証明せよ。
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