位相幾何学特論 (2012年度前期)

成績はレポート課題で評価します。授業毎に出題されるので、最後の講義時間にいくつか選んで提出して下さい。

問題

地球が位相的に球体である事を、地球上にいながら証明するための方法を考えよ。
R^1/Z が S^1 と同相である事を示せ。
トーラスの定義を、R^3に埋め込まれた曲面、正方形の商空間、の２通りで与えよ。
トーラスの異なる定義が、全て同相な空間を与える事を厳密に証明せよ。
射影空間の定義において、球面の商空間、ユークリッド空間から原点を除いた空間の商空間、の２通りが同値である事を示せ。
鏡にものを映すとき、"左右は反転するが上下は反転しない" 理由を答えよ。
n次元ユークリッド空間における向きを、順序づけられた基底の同値類として定めるとき、どんなnに対してもちょうど二種類あることを示せ。
正方形の辺を同一視して得られる2次元多様体を分類せよ。
n人乗りの浮き輪の展開図を描け
連結和 RP^2 # RP^2, T^2 # RP^2 はどの様な多様体となるか
ユークリッド空間において、内積を与える事と距離を与える事が同値である事を示せ
半径 r の(通常の)２次元球面上において、測地三角形の面積が r^2(内角の和-π) で与えられる事を示せ
ユークリッド空間内の単位球面について、その標準的な計量を計算せよ
２次元多様体の分類に従って、オイラー数を決定せよ
フーコーの振り子の、緯度θの地点における角速度を求めよ
与えられた展開図から、向き付け可能性とオイラー数により二次元多様体を判別する方法を、例示で示せ

授業内容

4/10
- 幾何学では何を知りたいのか
- 位相幾何 vs 微分幾何 vs 代数幾何
- 多様体：物理の"時空"を数学的に扱う
4/17
- n次元(位相)多様体
- ユークリッド空間、球面、トーラスが多様体である事
- 商位相空間：空間を"外側の入れもの"を使わずに定める
4/24
- 球面の定義：三次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲面としてのパラメーター表示、多項式の解集合、正方形の商空間、の２つの異なる定義
- トーラスの定義：曲面としてのパラメーター表示、S^1の直積、正方形の商空間、の３つの異なる定義
- トーラス３目並べ
5/8
- 正方形の商空間として得られる空間：球面、トーラス、メビウスの帯、クラインの壷、射影平面
5/22
- 射影空間の様々な定義
5/29
- 「向き」という概念にまつわるお話
6/5
- 多様体における向きの定義
6/12
- 張り合わせによる多様体の構成
- 連結和の定義
6/19
- 多様体の計量
- 曲線の長さ、測地線
- 球面の幾何学：測地三角形の面積
6/26
- 計量の具体的な計算
- 平坦、楕円的、双曲的空間
7/3
- オイラー数の位相不変性
- オイラー数と面積(ガウス-ボンネの定理の特別な場合)
- ２次元多様体のオイラー数の具体的な計算
7/10
- フーコーの振り子の、"平行移動"の概念による説明
- 向き付け可能性とオイラー数による二次元多様体の分類
- 三次元多様体の位相的、幾何的分類と、宇宙のカタチと未来についてのお話